সবচেয়ে ভালো বিকল্পটা বেছে নেয়ার সম্ভাব্যতা

অনেকগুলো একই ধরনের জিনিস আছে। যে কোনো ধরনের জিনিস হতে পারে। এটি হতে পারে কোরবানির ঈদে গরুর হাটে সবচেয়ে ভালো গরুটি বাছাইকরণ অথবা পাবলিক টয়লেটের সারিতে সবচেয়ে ভালো টয়লেটটি বাছাইকরণ। হতে পারে কোনো হোটেলের সবচেয়ে ভালো রুমটি বাছাই করা অথবা যাতায়াতের সময় সবচেয়ে ভালো সিটটি বাছাই করা। অর্থ্যাৎ যেকোন একই ধরনের জিনিসের মধ্যে সবচেয়ে ভালো জিনিসটি আমাকে বাছাই করতে হবে। জিনিস কি হবে সেটা নিয়ে আমাদের খুব বেশী মাথা ব্যথা নেই। আমরা যেটা দেখতে চাই সেটা হচ্ছে – সবচেয়ে কম সংখ্যক উপকরণ পর্যবেক্ষণ করে গাণিতিক উপায়ে সম্ভাব্যতা সূত্রের সাহায্যে কীভাবে আমরা সবচেয়ে ভালো উপকরণটি বাছাই করতে পারি।

ধরা যাক n সংখ্যক জিনিস পাশাপাশি সাজানো আছে। সবচেয়ে ভালো উপকরণটি বাছাই করতে হলে আমাকে অবশ্যই n সংখ্যক উপকরণের মধ্যে কিছু সংখ্যক উপকরণ আগে থেকেই পর্যবেক্ষণ করে নিতে হবে, যেন আমরা তুলনা করতে পারি আমাদের বাছাই করা উপকরণটি আগে পর্যবেক্ষণ করা উপকরণগুলো থেকে ভালো না খারাপ! ধরা যাক, আমরা যে কয়টি উপকরণ পর্যবেক্ষণ করবো তার সংখ্যা k, এবং k অবশ্যই n-এর সমান অথবা n থেকে ছোট। অর্থ্যাৎ ব্যাপারটি এরকম- n সংখ্যক সারি সারি পাবলিক টয়লেট পাশাপাশি আছে। আমি একটি ভালো টয়লেট বাছাই করতে চাই। কিন্তু বাছাই করার আগে আমাকে k সংখ্যক টয়লেট পর্যবেক্ষণ করে নিতে হবে, যেন আমার বাছাই করা টয়লেট, আগের পর্যবেক্ষণ করা k সংখ্যক টয়লেট থেকে ভালো কিনা সেটা তুলনা করা যায়।

চিত্রঃ বাছাইকরার উপকরণ যে কোনো কিছু হতে পারে, এমনকি সেটা হতে পারে পাবলিক টয়লেটও!

আলোচনা এবং উদ্দেশ্য বোঝা গেলো। এখন গাণিতিকভাবে সম্ভাব্যতা (P, for Probability) হিসাব করার পালা। k সংখ্যক উপকরণ পর্যবেক্ষণ করে সবচেয়ে ভালো উপকরণটি বাছাই করার সম্ভাব্যতা যদি P(k) হয়, তাহলে গাণিতিকভাবে P(k) হবে—

P(k)=∑P(পর্যবেক্ষণ করা k সংখ্যক উপকরণের n-তম অবস্থানে থাকার সম্ভাব্যতা)×P(n-তম উপকরণকেই বাছাই করার সম্ভাব্যতা)

অর্থ্যাৎ প্রথম সম্ভব্যতা হচ্ছে k-এর মান n-তম (1,2,3,…,n-1,n) হবার সম্ভাব্যতা এবং দ্বিতীয় সম্ভাব্যতাটি হচ্ছে n-তম (1,2,3,…,n-1,n) উপকরণকেই বাছাই করার সম্ভাব্যতা।

প্রথম k-তম উপকরণকে আমরা পর্যবেক্ষণ করবো। এরপর k+1-তম উপাদান থেকে n-তম উপকরণের ভিতর প্রথম যে উপকরণটি আগের পর্যবেক্ষণ করা k সংখ্যক উপকরণ থেকে ভালো হবে, আমরা সেই উপকরণটি বাছাই করবো। যদি k+1-তম উপকরণ থেকে n-তম উপকরণ পর্যন্ত আগেই পর্যবেক্ষণ করা k-সংখ্যক উপকরণের চেয়ে ভালো কোন উপকরণ পাওয়া না যায় তাহলে আমরা সর্বশেষ উপকরণটি অর্থ্যাৎ n-তম উপকরণটি বাছাই করব। সেটি আগের k সংখ্যক উপকরণ থেকে ভালো না খারাপ, সেটি আর বিবেচনায় আনবো না।

চিত্রঃ বাছাই করার জন্য n-সংখ্যক উপকরণ। প্রথম k-সংখ্যক উপকরণ শুধুমাত্র পর্যবেক্ষণ করার জন্য। পরেরগুলো বাছাই করার জন্য।

প্রথমে আমরা পর্যবেক্ষণ করা প্রথম k-সংখ্যক উপকরণের জন্য সম্ভাব্যতা হিসাব করি। যেহেতু আমাদের কাছে n-সংখ্যক উপকরণ আছে তাই k-তম উপকরণের n-তম অবস্থানে থাকার সম্ভাব্যতা 1/n। এবং প্রথম k-সংখ্যক উপকরণের বাছাই হবার সম্ভাব্যতা শূন্য। কারণ, প্রথম k-সংখ্যক উপকরণ থেকে আমরা কোনো উপকরণ বাছাই করবো না। k+1-তম উপকরণ থেকে বাছাই করা শুরু হবে।

তাই পর্যবেক্ষণ করা প্রথম k-সংখ্যক উপাদানের জন্য—

P(k)=∑(1/n)×0
P(k)=(k-সংখ্যক 1/n এর সমষ্টি)×(k-সংখ্যক 0-এর সমষ্টি)
P(k)=(k/n)×(k×0)
P(k)=0

দেখা যাচ্ছে যে, প্রথম k-সংখ্যক উপকরণের জন্য সম্ভাব্যতার সূত্রে কোন প্রভাব পড়ছে না। এখন বাছাই করার জন্য বাকি k+1-তম উপকরণ থেকে n-তম উপাদানের জন্য সম্ভাব্যতা হিসাব করা যাক। k+1-তম উপকরণ থেকে n-তম উপকরণ পর্যন্ত সকল উপকরণের জন্য k-তম উপকরণের n-তম অবস্থানে থাকার সম্ভাব্যতা 1/n। কারণ এখানেও আমাদের n-সংখ্যক উপকরণ আছে এবং k-এর মান n-সংখ্যক অবস্থানের যে কোনো জায়গায় হতে পারে। তাই এখানেও প্রথম সম্ভাব্যতা 1/n।

এখন ধরা যাক, k-তম উপকরণের পর আর মাত্র একটি উপকরণই আছে বাছাইয়ের জন্য। অর্থাৎ, সেক্ষেত্রে k+1-তম উপকরণই n-তম উপকরণ এবং ঐ একটি উপকরণ বাছাই হবার সম্ভাব্যতা অবশ্যই 1। অর্থ্যাৎ বাছাই করার জন্য মাত্র একটি উপকরণই অবশিষ্ট আছে এবং আমাকে ঐ একটি উপকরণই বাছাই করতে হবে।

দ্বিতীয় সম্ভাব্যতার জন্য তাই k+1-তম বাছাই হবার সম্ভাব্যতা 1। এখন যদি বাছাই করার জন্য k+2-তম উপকরণ উপস্থিত থাকে, তাহলে সেটি বাছাই করার সম্ভাব্যতা কত হবে? এই সম্ভব্যতা হিসাব করার জন্য আমাদের সামান্য কৌশলের আশ্রয় নিতে হবে।

k+2-তম উপকরণ বাছাই করার সম্ভাব্যতা হিসাব না করে আমরা k+2-তম উপকরণের বাছাই না হবার সম্ভাব্যতা হিসাব করতে পারি। যেহেতু k+2-তম উপকরণের আগে আরো k+1-সংখ্যক উপাদান আছে তাই k+2-তম উপাদান বাছাই না করে বাকি k+1-সংখ্যক উপকরণের যেকোন একটি বাছাইকরণের সম্ভাব্যতা হবে 1/k+1। এটি হচ্ছে k+2-তম উপকরণের বাছাই না হবার সম্ভাব্যতা। তাহলে 1 থেকে এই সম্ভব্যতা বিয়োগ করলে আমরা পাবো k+2-তম উপকরণের বাছাই হবার সম্ভাব্যতা, এবং সেটি হচ্ছে k/k+1।

ঠিক একইভাবে k+3-তম উপকরণের বাছাই হবার সম্ভাব্যতা k/k+2।
k+4-তম উপকরণের বাছাই হবার সম্ভাব্যতা k/k+3।
n-তম উপকরণের বাছাই হবার সম্ভাব্যতা k/n-1।

এখন k+1-তম উপকরণ থেকে n-তম উপকরণ পর্যন্ত সম্ভাব্যতা হিসেব করলে আমরা পাই—

P(k)=(1/n)×1+(1/n)×(k/k+1)+(1/n)×(k/k+2)+(1/n)×(k/k+3)+…+(1/n)×(k/n-1)

এই সম্ভব্যতা রাশি থেকে k/n পৃথক করে নিলে সম্ভাব্যতা দাড়ায়—

P(k)=(k/n)×{(1/k)+(1/k+1)+(1/k+2)+(1/k+3)+…+(1/n-1)}

উপরের সম্ভাব্যতা রাশিতে k/n থেকে পৃথক করা অংশটুকু আমরা একটি ফাংশনের বিস্তৃতি হিসেবে লিখতে পারি।
ফাংশনটি হচ্ছে, f(x)=1/x
এই ফাংশনটিকে আমরা যদি লেখচিত্রের মাধ্যমে প্রকাশ করি তাহলে মোটামুটি নিচের চিত্রর মত একটি চিত্র পাব।

চিত্রঃ f(x)= 1/x ফাংশনের লেখচিত্র।

এই ফাংশনে x এর মান যত বেশী হবে আমাদের সম্ভাব্যতার সূত্রটি ততো ভালোভাবে কাজ করবে। অর্থ্যাৎ সম্ভাব্যতার সূত্রের সাহায্যে ভালো ফলাফল পেতে হলে আমাদের উপকরণের সংখ্যা বেশী হতে হবে। এই ফাংশনটিকে k থেকে n পর্যন্ত ইন্টিগ্রেশন করলে আমরা পাই—
∫(1/x), k to n
 = [ln(x)]_kⁿ
 = ln(n)-ln(k)
 = ln(n/k) 

সুতরাং, সম্ভব্যতা রাশির k/n থেকে পৃথক করা ফাংশনের বিস্তৃতিকে আমরা ln(n/k) দিয়ে প্রকাশ করতে পারি। সেক্ষেত্রে আমাদের সম্ভাব্যতা দাঁড়ায় —

P(k)=(k/n)×ln(n/k)

k/n-কে যদি আমরা অন্য একটি চলক z দিয়ে প্রতিস্থাপিত করি, তাহলে পাই—

P(z)= z×ln(1/z)
P(z)= z×(ln(1)-ln(z))
P(z)= z×(0-ln(z))
P(z)= z×(-ln(z))
P(z)= -z×ln(z)

সম্ভাব্যতার এই ফাংশনটিকে যদি আমরা লেখচিত্রের মাধ্যমে প্রকাশ করি তাহলে নিচের চিত্রের মত একটি চিত্র পাওয়া যাবে—

চিত্রঃ সম্ভাব্যতা ফাংশনের লেখচিত্র।

সম্ভাব্যতা ফাংশনের প্রথম ব্যবকলনকৃত মান (first derivative) যে বিন্দুতে শূন্য হবে, সেই বিন্দুতে সম্ভাব্যতার মান সবচেয়ে বেশী হবে। উপরের সম্ভাব্যতার ফাংশনকে প্রথম ডেরিভেটিভ করে আমরা পাই—

P’(z)= -ln(z)-z×(1/z)
P’(z)= -ln(z)-1

প্রথম ব্যবকলনকৃতমান P’(z) কে 0 দিয়ে প্রতিস্থাপন করে পাই—

0= -ln(z)-1

এই সমীকরণ থেকে z-এর মান পাওয়া যায়—

z= e^-1
z= 1/e
z= 0.368…
z~= 0.37

অর্থ্যাৎ z-এর মান মোটামুটি 0.37-এর সমান। অর্থ্যাৎ আমাদের যদি মোট 100-টি উপকরণ থাকে তাহলে প্রথম 37-টি উপকরণ আমরা পর্যবেক্ষণ করবো। 38-তম উপাদান থেকে 100-তম উপকরণ পর্যন্ত প্রথম যে উপকরণটি আগের 37-টি উপকরণ থেকে তুলনামূলকভাবে ভালো আমরা ঠিক সেই উপকরণটি বাছাই করবো। একইভাবে কোরবানির গরুর হাটে যদি 100-টি গরু থাকে তাহলে প্রথম 37-টি গরু আমরা পর্যবেক্ষণ করবো। এরপরের যে গরুটি আগের 37-টি গরুর চেয়ে ভালো আমরা সম্ভাব্যতার সূত্রের সাহায্যে সেই গরুটিই  কিনবো। এই সূত্রের সাহায্যে দেখানো যায় যে সবচেয়ে ভালো উপকরণটি এই পদ্ধতিতে বাছাইয়ের সম্ভাব্যতা 37%।

উপরের পদ্ধতিটি একটি জনপ্রিয় গাণিতিক সমস্যা।

তথ্যসূত্র এবং চিত্র কৃতজ্ঞতাঃ

১) www.numberphile.com
২) Mathematical Sciences Research Institute 

Comments