ডায়োফান্টাস, যোগাশ্রয়ী ডায়োফান্টাইন সমীকরণ এবং বাস্তবতাঃ

যোগাশ্রয়ী ডায়োফান্টাইন সমীকরণ হল, দুই চলকবিশিষ্ট একটি সমীকরণ যার সমাধান শুধুমাত্র পূর্ণসংখ্যা। আলেকজান্দ্রিয়ার গণিতবিদ ডায়োফান্টাস এর নামানুসারে ডায়োফান্টাইন সমীকরণের নামকরণ করা হয়। তৃতীয় শতাব্দীর(২০১/২১৫খ্রিঃ -২৮৫/২৯৯খ্রিঃ) গণিতবিদ ডায়োফান্টাস এর বিখ্যাত বই হল “ARITHMETICA”।  ডায়োফান্টাসের সম্পর্কে যা জানা যায় তার বেশিরভাগই মেট্রোডারাসের গ্রীক কবিতাসমগ্র থেকে। এইখানে একটা কবিতায় ডায়োফান্টাস সম্পর্কে বলা হয়েছে-

‘Here lies Diophantus,’ the wonder behold.
Through art algebraic, the stone tells how old:
‘God gave him his boyhood one-sixth of his life,
One twelfth more as youth while whiskers grew rife;
And then yet one-seventh ere marriage begun;
In five years there came a bouncing new son.
Alas, the dear child of master and sage

After attaining half the measure of his father’s life chill fate took him. After consoling his fate by the science of numbers for four years, he ended his life.’

কবিতার লাইনগুলো গাণিতিকভাবে লেখা হলে অনেকটা নিচের মত একটা সমীকরণ দাঁড়াবে।

x=x/6+x/12+x/7+5+x/2+4

এখানে ‘x’ হল ডায়োফান্টাস এর বয়স। সমীকরণ সমাধান করলে ‘x’ এর মান পাওয়া যায় ৮৪ আর এই বয়সে ডায়োফান্টাস মৃত্যুবরণ করেন। যাইহোক ডায়োফান্টাইন সমীকরণে ফেরা যাক। যোগাশ্রয়ী ডায়োফান্টাইন সমীকরণের সাধারণ রুপ হলো:

ax+by=c [a,b,c ধ্রুবক]

যোগাশ্রয়ী ডায়োফান্টাইন সমীকরণের একাধিক সমাধান থাকতে পারে।

যোগাশ্রয়ী ডায়োফান্টাইন সমীকরণের বাস্তবিক প্রয়োগ ব্যাখ্যা করতে গেলে ধরুন আপনারা কয়েকজন বন্ধু মিলে জাদুঘর দেখতে গেলেন।জাদুঘরের ছেলেদের টিকিটের দাম ১০ টাকা এবং মেয়েদের ৬ টাকা। সর্বমোট ১৫৬ টাকা খরচ করে সবার জন্য টিকিট নিলেন। তাহলে আপনারা কতজন ছেলে এবং কতজন মেয়ে ছিলেন?

সমাধানঃ
মনে করি, ছেলে সংখ্যা x জন এবং মেয়ে সংখ্যা y জন। তাহলে আমাদের যোগাশ্রয়ী ডায়োফান্টাইন সমীকরণ হয় –

10x+6y=156……… (১)

যোগাশ্রয়ী ডায়োফান্টাইন সমীকরণের সমাধান তখনই সম্ভব যখন a=10 ও b=6 এর গ.সা.গু.(ধরি g) c=156 কে নিঃশেষে বিভাজ্য করবে।

(১) নং সমীকরণে 10 ও 6 এর গ.সা.গু. হল 2 যা 156 কে নিঃশেষে ভাগ করে, সুতরাং (১) এর সমাধান সম্ভব।

ইউক্লিডীয় পদ্ধতিতে 10 ও 6 এর গ.সা.গু. নির্ণয়-

10=1*6+4………….(২)

6=1*4+2………….(৩)

4=2*2

গ.সা.গু. 2 কে 10 ও 6 এর যোগাশ্রয়ী সমাবেশ আকারে লেখা-

(৩) থেকে 2=6-1*4

=6-1*(10-1*6)[(২) নং থেকে ]

=6 -1*10+1*6

=2*6-1*10

তাহলে 10*(-1)+6*(2)=2  উভয়পক্ষে 78 দ্বারা গুণ করে পাই

10*(-78)+6*(156)=156

সুতরাং (x₀,y₀ )=(-78,156) ১নং সমীকরণের একটি সাধারণ সমাধান।

যোগাশ্রয়ী ডায়োফান্টাইন সমীকরণের পূর্ণ সমাধান নীচের সূত্রের সাহায্যে পাওয়া যায়।

x=x₀+(b/g)t এবং y=y₀ -(a/g)t;    যেখানে t একটি পূর্ণ সংখ্যা।

তাহলে x=-78+3t  ও  y=156-5t………(৪)

যেহেতু x ও y যথাক্রমে ছেলে ও মেয়ের সংখ্যা সেহেতু ও অবশ্যই ধনাত্মক কিংবা শূন্য হবে।

তাহলে আমরা পাই,

-78+3t ≥০ এবং 156-5t ≥ ০

⇒ 3t ≥ 78 এবং 5t ≤ 156

⇒ t ≥ 26 এবং t ≤ 31.2

অসমতা দুটিকে এক করলে হয় 26 ≤ t ≤ 31.2

যেহেতু t পূর্ণ সংখ্যা সেহেতু t  এর মান হবে 26, 27, 28, 29, 30 এবং 31

t এর বিভিন্ন মানের জন্য (৪) নং থেকে x ও y এর মান নির্ণয়ঃ

অতএব, ছেলে ও মেয়ের সংখ্যা এই ছয়টি উপায়ে হতে পারে।

তথ্যসূত্রঃ

১.wikipedia

2.wolframmathworld

Comments