3.141592653589793238462643383295028841971693993751058209749445923078164 06286208998628034825 3421170679…..
পাই-এর,প্রথম 100টি ঘরের মান। পাই-সম্বদ্ধে আমাদের নিশ্চই কিছু ধারণা আছে।এই নিয়ে বিস্তর লেখা লিখিও হয়েছে। বৃত্তের পরিধি এবং ব্যাসের ধ্রুবক অমূলদ অনুপাত নিয়েই যত কাণ্ড! পাই বিষয়ক আরোও বেশ কিছু ঝাল-মুড়ি জাতীয় তথ্য নিয়ে পরের পর্বে আলোচনা হবে। আজ আমরা পাইয়ের আনুমানিক মান বের করার চেষ্টা করবো।
পাই আসলে কি? বৃত্তের পরিধি এবং ব্যাসের অনুপাত। গণনা করে দেখা গেছে এই অনুপাতটি সবসময় একই থাকে।এবং, এটির মান দশমিকের পর চলতেই থাকে তো চলতেই থাকে! আসুন, এক ঝলকে দেখে নিই যে এখন পর্যন্ত আমরা কী জানি –
পরিধি = 2 * পাই * ব্যাসার্ধ
ব্যাস = 2 * ব্যাসার্ধ
তাহলে, কাটাকুটি করে পাই, বৃত্তের (পরিধি / ব্যাস) = পাই ≈ 3.14…..
এবার, আমরা “মন্টি কার্লো সিমুলেশন” ব্যবহার করে পাইয়ের আনুমানিক মান বের করার চেষ্টা করবো। এই ব্যাপারটি আর কিছুই না, অসংখ্য এলোমেলো (random) সংখ্যার সাহায্যে পরীক্ষা করা। নিচের চিত্রের মতো একটি বাক্স আঁকি এবং তার মধ্যে বাক্সটির সমান করে একটি বৃত্ত আঁকি।
এখানে, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ r এবং বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য 2r. অতএব, বৃত্তটির ক্ষেত্রফল = πr² এবং বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = (2r)2 = 4r²
অতএব, বৃত্তটির ক্ষেত্রফল / বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = πr² / 4r² = π / 4
অতএব, 4 * (বৃত্তটির ক্ষেত্রফল / বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল) = π
তাহলে, কয়েকটি ছুরিকে যদি এলোমেলো ভাবে বাক্সটির দিকে ছুঁড়ে মারা হয়, তাহলে,
4 * (যতগুলি ছুরি বৃত্তটির মধ্যে পড়েছে / সবকটি ছুরির সংখ্যা) = π
কিন্তু, ছুরিগুলোর জায়গায় যদি ছোটো ছোটো বিন্দু দিয়ে পরীক্ষাটি করা যেতো, তাহলে গণনাটি আরোও নির্ভুল হতো। তাহলে, একটি বিন্দু ধরা হলো p(x,y)। এখানে, x এবং y-হলো বিন্দুটির অবস্থান। এবার, এই বিন্দুটিকে বিভিন্ন জায়গায় বারবার ফেলে তারপর কতগুলি বৃত্তের ভিতরে পড়ছে এবং মোট ছুরির সংখ্যার অনুপাত বের করলেই তো পাইয়ের মান বেরিয়ে যাবে!
অতএব,পদ্ধতি গুলি পরপর লিখে ফেলি:-
1. x এবং y-এর এলোমেলো মান তৈরি করবো। অর্থাৎ,
x = random()
y = random()
2. এবার, ওই “random” স্থানে বিন্দুটিকে ছুঁড়ে মারা হলো।
3. আবার, পদ্ধতি 1 থেকে শুরু করা হলো।
এই,ভাবে যেদিকে খুশি যেভাবে খুশি দুমা-দ্দুম বিন্দু ছুঁড়ে মারা হলো। কিছু বিন্দু বৃত্তের ভিতরে পড়লো।অবশ্য, সব বিন্দুই কিন্তু বাক্সের ভিতরেই পড়লো (নইলে আবার কার না কার গায়ে লাগে!)। এইবার গণনার পালা।
দেখা গেলো যে:-
4 * (বৃত্তের ভিতরে পড়া বিন্দুর সংখ্যা / সব বিন্দুর সংখ্যা) ≈ 3.14…..
এটি একটি স্যাম্পল ভিত্তিক পরীক্ষা। যত বেশি বিন্দু ছোঁড়া হবে, তত বেশি নিখুঁতভাবে পাইয়ের মান পাওয়া যাবে।
প্রোগ্রামিং ব্যবহার করে এই একই কাজটি করলাম। এবং দেখুন, কত গুলি বিন্দু নিয়ে কাজ হচ্ছে! নিচে পাইয়ের আনুমানিক মানটি বের হচ্ছে, যা প্রতিমুহূর্তে আরোও নিখুঁত হচ্ছে এবং নিচে মূল মানের সাথে আমার গণনা করা মানের পার্থক্য (error) গণনা করা হচ্ছে।
এতদূর পর্যন্ত পড়ে আসার জন্য আপনাকে অসংখ্য ধন্যবাদ।
Calculating the Value of Pi : A Monte Carlo Simulation
Estimating the value of Pi using Monte Carlo
