ভূমিকা
অনীক আন্দালিব
অঙ্কের ক্লাসে লগারিদমের সাথে প্রথম পরিচয়েই মনে প্রশ্ন জাগতে পারে, এই বিদ্ঘুটে ঘোরালো হিসাব-নিকাশের কীইবা প্রয়োজন? এমনিতেও গণিতে ভীতি আমাদের ছাত্র-ছাত্রীদের মনে কাঁপন ধরিয়ে দেয়। তার ওপর আছে মুখস্তবিদ্যার চর্চা, যা করতে গিয়ে কত বিনিদ্র রজনীই না নিঃশেষ হয়েছে! লগারিদমের আপাত বিদঘুটে হিসাবও মুখস্ত করতে হতো, কেন করছি, কী কাজে লাগে, তা না জেনেই। অনেক গণিতের ছাত্রকেই “লগ কি খায়, না মাথায় দেয়?” প্রশ্ন করলে তারা মাথা চুলকেও উত্তর দিতে পারবেন না।
তাই আজ আসুন লগের প্রাথমিক ধারণার পাশাপাশি এর প্রয়োজনীয়তা বা উপকারিতা সম্পর্কেও একটু জেনে নিই। প্রথমেই প্রয়োগ। লগারিদমের আবিষ্কার ঘটেছিল আজ থেকে প্রায় পাঁচশ বছর আগে, ষোড়শ ও সপ্তদশ শতাব্দীতে। সে সময়ে ছিল না কোন ক্যালকুলেটর বা কম্পিউটার। গণিতের যত হিসাব-নিকাশ, সব হাতে-কলমেই করতে হতো! এখন একবার ভাবুন তো, লক্ষ বা কোটির ঘরের সংখ্যারাজি নিয়ে যদি হিসাব করতে বসেন, তাদের গুণ-ভাগ-বর্গ-বর্গমূল করতে হয়, তাহলে কী মুসিবতে পড়বেন? দিস্তার পর দিস্তা কাগজ আর বালতি বালতি মাথার ঘাম শেষ হয়ে যাবে, সময়ের দিকে তো তাকালামই না! এই মহাঝামেলা মেটাতেই বড় বড় সংখ্যাকে ছোট করে এনে দ্রুত হিসাবের একটা নিয়ম বের করা হয়, যে নিয়মের নাম লগারিদম।
যেমন ধরুন, আমরা জানি যে y = a^x এরই অপর রূপ log (a)(y) = x [একটু ধৈর্য ধরুন, এগুলোর মানে কী তা অচিরেই ভেঙে বুঝাচ্ছি।]।
এই y = a^x ফাংশনটাকে বলে এক্সপোনেনশিয়াল ফাংশন। নিরীহদর্শন এই ফাংশনকে গণিত, পদার্থবিদ্যা, প্রকৌশলে বারবার খুঁজে পাবেন। অর্থাৎ জগতের বিভিন্ন ঘটনাতেই এই ফাংশনের দরকার আছে। কিন্তু এই ফাংশনের লগারিদম নেয়া হলে যে সরল রূপ হয়, সেটা দিয়ে হিসাব করতে অনেক সুবিধা হয়।
প্রযুক্তির উন্নতির কারণে আজকাল হয়তো সংখ্যা ইনপুট দিয়ে জটিল হিসাব মুহূর্তেই করতে পারছি, কিন্তু যদি হাতের কাছে না থাকে ক্যালকুলেটর কিংবা কম্পিউটার, যদি জীবন বিপন্ন হবার মুখে দ্রুত কোন হিসাব-নিকাশ করে বিপদ থেকে উদ্ধারের পথ থাকে, তখন বলা যায় না, এই লগারিদমই হতে পারে আপনার জীবন-মৃত্যুর সহায়! আর অমন দুর্লভ পরিস্থিতি ছাড়াও, গণিতে ভাল ধারণার জন্যেও লগের প্রয়োজন ও গুরুত্ব অনেক।
এক কথায় বললে, বড় সংখ্যার জটিল ও সময়সাপেক্ষ গুণ-ভাগকে লগের সাহায্যে ছোট ছোট যোগ বা বিয়োগে রূপান্তর করা যায়, আরও জটিল non-linear সমীকরণকে করা যায় সরলরৈখিক (linear)। তাই চলুন, লগের প্রাথমিক বিষয়গুলো জেনে নেই।
(এখান থেকে বাকি লেখাটুকু আমার। – নিপুণ সেন)
পর্ব ১
Log সম্পর্কে জানার আগে ছোটখাটো কিছু বিষয় আগে জেনে নেই চলুন।
আমরা সকলে জানি যে 2³ এর মান হলো 8।
এখানে 2 হলো ভিত্তি (base), 3 হলো ঘাত বা সূচক (power), এবং 8 হলো ফলাফল (result)। সহজ কথায়- 2 এর তৃতীয় সূচকের মান 8 বা 2 এর পাওয়ার 3 দিলে পাবো 8। এখন যদি ঘুরিয়ে বলি- 2 এর উপর ঘাত কত দিলে ফলাফল 8 হবে? হুম, এই প্রশ্নটাকেই গাণিতিকভাবে লেখা হয়ঃ
যে কোন ওয়েব ব্রাউজারে সহজে লেখার জন্য আমি Log(base)(result) এভাবে লিখেছি। এখানেও 2 হলো ভিত্তি (base), এবং 8 হল ফলাফল (result)। Log(2)(8) -এর উত্তরটা হবে 3 (power)। এবারে কিছু অনুশীলন করে নেয়া যাক, কী বলেন?
- Log2 (64) অর্থাৎ 2 এর উপর পাওয়ার কত দিলে রেজাল্ট 64 হবে?
- Log(2) (16) অর্থাৎ ……………?
- Log(2) (256) অর্থাৎ……………..?
পর্ব ২
আচ্ছা, ভিত্তি (base) যদি 10 হয়, যেমনঃ 10² = 100, তখন হিসাবটা কেমন হবে? আগের মতই বলবো, 10 এর উপর ঘাত 2 দিলে ফলাফল হয় 100. একটু ঘুরিয়ে যদি প্রশ্ন করি – 10 এর উপর ঘাত কত দিলে ফলাফল 100 হবে? এটাই গাণিতিকভাবে- Log(10)(100) যার অর্থ 10 এর উপর পাওয়ার কত দিলে রেজাল্ট 100 হবে?
উত্তরঃ 2
সাধারণ বীজগণিতে 10-ভিত্তিক লগ-কে শুধু Log দিয়েই বোঝানো হয়। অর্থাৎ Log(10)(1000) না লিখে Log(1000) লেখা হয়।
আরো কিছু উদাহরণঃ
10^-2=0.01 ——> Log(0.01)= -2 (সাবধান কিন্তু! এটা 2 নয়। এটা -2)
10^1=10 ———–> Log(10) = 1 (এটা কিন্তু আপনার পরিচিত!)
Log(10)(10) =1—> ঐ যে, Log(a)(a) =1 সূত্র! ভিত্তি আর ফলাফল যদি একই হয়, তাহলে ঘাতের মান সবসময় হবে এক! কী মজা তাই না!
১০ এর উপর পাওয়ার কত হলে রেজাল্ট হবে ১০? সোজা উত্তরঃ ১।
তেমনিভাবে Log(2)(2)=1, Log(8)(8)=1, Log(100)(100)=1।
অনুশীলনীঃ (শূন্যস্থান পূরণ করো)
- Log(1000) অর্থাৎ 10 এর উপর পাওয়ার কত দিলে রেজাল্ট 1000 হবে?
- Log(0.001) অর্থাৎ……………?
- Log(10) অর্থাৎ……………..?
পর্ব ৩
e একটি ধ্রুবক সংখ্যা, যার মান 2.71. এবার ভিত্তি যদি হয় e, তাহলে কী রকম হবে Log এর চেহারা?
e= 2.71
e^3=20
Log(e)(20)=3.
অর্থাৎ, e এর উপর পাওয়ার 3 দিলে ফলাফল হবে 20. সাধারণত, e-ভিত্তিক লগকে ন্যাচারাল লগ বলে এবং Ln আকারে লেখা হয়। যেমন – Log(e)(20) না লেখে Ln 20 লেখা হয়।
পর্ব ৪
শেষ বিষয়। আমরা এখন অ্যান্টি-লগ (Anti-Log) বিষয়ে জানবো। লগ আর অ্যান্টি-লগ একই মুদ্রার এপিঠ-ওপিঠ। যেমন ‘+’ আর ‘-‘ একই মুদ্রার এপিঠ – ওপিঠ। এরকম অনেক জোড়া আছে, মনে মনে চিন্তা কর। যেমন লাঙল-মই, পেন্সিল-রাবার ইত্যাদি।
এখন দেখুনঃ 100 + 5 – 5 = 100
100 এর কোন পরিবর্তন হয়েছে কী? না। ঠিক তেমনি- কোন একটা সংখ্যাকে Log করার পরে তাকে আবার Anti-Log করলে ঐ সংখ্যাটির কোন পরিবর্তন হয় না। নিচের উদাহরণটা দেখলে আরো পরিষ্কার হবে।
1000 এর 10 ভিত্তির লগ হলো- Log(1000)
এবার একে যদি 10 ভিত্তিক Anti-Log করি-
Anti-Log10 (Log(1000)) = 1000————-(1)
সহজ বাংলায় Log আর Anti-Log কাটাকুটি।
আর একটু, এই শেষ বলে।
10³ = 1000——————–(2)
তাহলে Log(1000) = 3, লিখতে পারি না? হুম, পারি।
এবার দুই পাশে 10-ভিত্তিক Anti-Log করে পাই,
=> Anti-Log(10) ( Log(1000) ) =Anti-Log(10)( 3)
=> 1000 = Anti-Log (10)( 3) [(1)নং সমীকরণ ব্যবহার করে]
=> 10^3 = Anti-Log(10)(3) [(2) নং সমীকরণ ব্যবহার করে]
=> Anti-Log(10)(3) = 10^3——————-(3)
এখানে আমরা ১০০০-এর দশভিত্তিক লগের অ্যান্টি-লগ নিচ্ছি। যেহেতু লগের মান ৩, তাই সেটার ওপরেও অ্যান্টি-লগ নেয়া হচ্ছে। বামপক্ষে লগ অ্যান্টি-লগে কাটাকাটি। রইলো শুধু ১০০০, যাকে ২ নম্বর সমীকরণ থেকে ১০^৩ লেখা যায়। তার মানে, ৩ এর ১০-ভিত্তিক অ্যান্টি-লগের মান ১০-ভিত্তির উপরে ঘাত ৩।
(3) নং সমীকরণ থেকে আমরা বলতে পারি-
একটা সংখ্যার 10-ভিত্তিক Anti-Log বলতে বুঝায় 10-এর উপর ঐ সংখ্যাটির ঘাত। তাহলে ভিত্তি যে কোন সংখ্যা হতে পারে।
3 এর e-ভিত্তিক Anti-Log বলতে বুঝায় e-এর উপর ঘাত 3।
Anti-Log(e)(3) = e^3
5 এর e-ভিত্তিক Anti-Log বলতে বুঝায় e-এর উপর ঘাত 5।
Anti-Log(e)(5) = e^5
6 এর 2-ভিত্তিক Anti-Log বলতে বুঝায় 2 এর উপর ঘাত 6।
Anti-Log(2)(6) = 2^6
4 এর 2 ভিত্তিক Anti-Log বলতে বুঝায় 2 এর উপর ঘাত 4।
Anti-Log(2)(4) = 2^4
এবার আপনি বলুন-
2 এর 8-ভিত্তিক Anti-Log বলতে বুঝায় ……………………………।
5 এর 16-ভিত্তিক Anti-Log বলতে বুঝায় ……………………………………..।
(সমাপ্ত)
