গণিত ছাড়াই বিজ্ঞান (পর্ব দুই )

বৃত্তের পরিধি (Circumference) কত?

দৃশ্য এক:

খাতা, পেন্সিল-কম্পাস, পেন্সিল ও গজ-ফিতা নিয়ে বসুন। খাতায় একটা বৃত্ত আঁকুন। ধরুন, বৃত্তের ব্যসার্ধ (Radius) R = ১ সেন্টিমিটার। গজ-ফিতা দিয়ে বৃত্তটির পরিধি মাপুন। আপনার উত্তর হবে ২ * Pi * R. এবার, একটা শর্ত সাপেক্ষে , বিভিন্ন ভাবে বৃত্তটি আঁকতে চেষ্টা করুন। “বিভিন্ন ভাবে” বলতে আমি এখানে দুইটি বিষয় বোঝাচ্ছি,

এক) যে কোনো পৃষ্ট বা তল: কাগজে, কাপড়ে, দেয়ালে, মেঝেতে যেখানে খুশি সেখানে আঁকুন।

দুই) পৃষ্টের অবস্থান (Orientation/Alignment): আপনি কাগজ, দেয়াল যাই বেছে নিন, সেটাকে একাত, ওকাত, উপর, নীচে (ইত্যাদি) যেভাবে খুশি সেভাবে রেখে আঁকুন।

আর শর্তটি হচ্ছে , খুব সহজ, আপনার পৃষ্ঠটি (তল) হতে হবে একেবারে সমতল, অর্থাৎ, কাগজে বা দেয়ালে (যাই বেছে নিন তাতে) কোনো ধরনের বক্রতা যেমন ঢেউ, গর্ত, ছিদ্র (ইত্যাদি) থাকতে পারবেনা।

আঁকা শেষ হলে এবার গজ-ফিতা দিয়ে বৃত্তগুলোর পরিধি মাপুন। দেখবেন, সবক্ষেত্রেই আপনার উত্তর হবে ২ * Pi * R. এই ধরনের গণিতকে বলে “সমতলের জ্যামিতি” এর ভালো নাম “Euclidean জ্যামিতি” যা প্রাচীন গ্রীসে আবিস্কৃত হয়। আমরা সবাই কমবেশী এই জ্যামিতির সাথে পরিচিত। সুতরাং, আমি চলে যাচ্ছি পরের দৃশ্যে।

দৃশ্য দুই:

প্রথম দৃশ্যের মতো এবারও বিভিন্ন ভাবে বৃত্তটি আঁকুন, তবে, উপরের শর্তটি হবে এখন একটু ভিন্ন ,

শর্ত : এইবার আপনার পৃষ্ঠটি (তল) হতে হবে বাঁকা বা বক্র, অন্যভাবে বললে, আপনার পৃষ্ঠটি কোনভাবেই সমতল হতে পারবে না। ব্যাখ্যা দিচ্ছি নীচে,

খাতাটা সরিয়ে রাখুন। খাতার বদলে দুটি ভিন্ন আকৃতির দুটি গোলক বা বল নিন, যেমন, একটা ফুটবল আর একটা টেনিস বল। এবার ব্যসার্ধ R = ১ সেন্টিমিটার-এর বৃত্তটি বল দুটির ওপরে আঁকুন। আঁকা শেষ হলে গজ-ফিতা দিয়ে বৃত্ত দুটির পরিধি মাপুন। কী পেলেন? পরিধি দুইটির কি সমান?

অবাক বিষয়, যদিও বৃত্ত দুটির ব্যসার্ধ সমান, টেনিস বলের বৃত্তটির পরিধি ফুটবলের চেয়ে কম! সমস্যাটা কোথায়? খেয়াল করে দেখেবেন, সমস্যাটা আসলে বল দুটির পৃষ্টে, বল দুটি পৃষ্ঠগুলো যদি একই রকম বাঁকা হত তবে বৃত্ত দুটির পরিধিও একই হতো। যার তল/পৃষ্ঠ যত বাঁকানো তার ওপর আঁকা বৃত্তের পরিধি তত ছোট হবে। টেনিসবলে ওপর আঁকানো বৃত্তের পরিধি কম তার মানে টেনিস বলে পৃষ্ঠের/তলের বক্রতা ফুটবলের চেয়ে বেশী।

আপনি যদি বৃত্তটি ঢেউটিন, তরমুজ অথবা যে কোনো বক্রতলযুক্ত বস্তুর ওপর আঁকেন, প্রতিবারই আপনি ভিন্ন ভিন্ন পরিধি পাবেন, যদিও প্রতিটি বৃত্তের ব্যসার্ধ সমান। বুঝতেই পারছেন –  ২ * Pi * R বা “সমতলের জ্যামিতি” বা “Euclidean জ্যামিতি” এই ক্ষেত্রে খাটবে না।

এই ধরনের গণিতকে বলাহয় “বক্রতলের জ্যামিতি, এর ভালো নাম “ডিফেরেন্সিয়াল জ্যামিতি বা টেন্সর ক্যালকুলাস”। এটি উদ্ভাবন করেছিলেন এক গানিতিক নাম “বার্নার্ড রেইমান” তাই একে কখনো কখনো “রেইমানিয়ান জ্যামিতি” বলা হয়. অদ্ভুত বিষয় হচ্ছে, আইনস্টাইনের “সাধারণ আপেক্ষিক তত্ত্ব”-এর আগে এই গণিতকে কেউই পাত্তা দিতো না। আইনস্টাইনের নেক নজরে এটির এখন বহুল ব্যবহার।

স্থানকালের বক্রতা/সংকোচন:

নিউটন-এর “সামগ্রিক মাধ্যাকর্ষণ সূত্র” (Universal Law of Gravitation) কিংবা আইনস্টাইনের “বিশেষ আপেক্ষিক তত্ত্ব” কোনোটাই মাধ্যাকর্ষণ-এর স্বরূপ ব্যাখ্যা করতে পারতো না। আমরা শুধু জানতাম ভর (Mass) যত বেশী মাধ্যাকর্ষণ তত বেশী আর ভর যত কম মাধ্যাকর্ষণ তত কম। এবং মাধ্যাকর্ষণের দ্রুততা আলোর গতির সমান। কিন্তু এক বস্তু কীভাবে অন্য বস্তুর ওপর মধ্যাকর্ষণ বল প্রয়োগ করে সেটা ছিল অজানা। “বিশেষ আপেক্ষিক তত্ত্ব”(Special Theory of Relativity) প্রকাশের পরপরই আইনস্টাইন উঠেপড়ে লাগেন “মাধ্যাকর্ষণ” নামক রহস্য উন্মোচনে, তিনি সফল হন এবং প্রকাশ করেন “সাধারণ আপেক্ষিক তত্ত্ব” (General Theory of Relativity). এজন্য আইনস্টাইন সাহায্য নেন “সমকক্ষতার নীতির” (Equivalence Principle). “সমকক্ষতার নীতি” অনুসারে তিনি প্রমাণ করেন “ত্বরণ” (Acceleration) ও “মাধ্যাকর্ষণ” একই জিনিস। তাই, ত্বরণের নীতিগুলো মধ্যাকর্ষণের ওপর সমান ভাবে প্রযোজ্য। আইনস্টাইনের চিন্তা-পরীক্ষণ (Thought Experiment) ছিল অনেকটা এরকম,

আপনি আর আপনার দুই বন্ধু করিম ও রহিম, তিন জনে একটি স্থির নাগরদোলার সামনে গজ-ফিতা হাতে দাঁড়িয়ে আছেন। আপনাদের প্রত্যেকের গজ-ফিতার দৈর্ঘ্য ১ মিটার। আপনি নিজে ভাল করে মাপলেন,

১) নাগরদোলার ব্যসার্ধ R .
২) নাগরদোলার পরিধি গজ-ফিতার ৫ গুণ (অর্থাৎ, ৫ মিটার)

এবার, রহিম এবং করিম নাগরদোলায় চড়ে বসল আর নাগরদোলাও চলতে শুরু করল। কিছুক্ষণ পর নাগরদোলা একটি নির্দিষ্ট গতিবেগে ঘুড়তে থাকলো। লক্ষ্য করুন, আমাদের নাগরদোলার গতিবেগ কিন্তু আসলে ত্বরণ*। রহিম এবার নাগরদোলার কেন্দ্র থেকে কিনারা বরাবর ব্যাসার্ধ মাপতে শুরু করল আর করিম নাগরদোলার কিনারা বরাবর পরিধি মাপতে শুরু করল। তাদের মাপা শেষ হলে আপনি দেখলেন,

১) রহিমের মাপা ব্যসার্ধ হবে R (পুরোপুরি আপনার সমান).
২) করিমের মাপা পরিধি তার গজ-ফিতার ৫ গুণ। কিন্তু, একটু থামুন, সেটা হচ্ছে ৫ মিটারের চেয়ে ছোট!

ঘটনা কী? করিম যখন নাগরদোলার কিনারা বরাবর পরিধি মাপছিলো, সে কিন্তু আপনার দৃষ্টিকোণে (Point of Reference) নাগরদোলার সাথে সাথে ঘুরছিলো। আইনস্টাইনের “বিশেষ আপেক্ষিক তত্ত্ব” অনুসারে আপনার দৃষ্টিকোণে করিম ও করিমের গজ-ফিতার স্থানকালের সংকোচন ধটবে (সময়ের ক্ষেত্রে Time Dilation এবং স্থানের ক্ষেত্রে Lorentz Contraction, এখানে আমার শুধুমাত্র “স্থান সংকোচন” বিবেচনা করবো)। লক্ষ্য করুন, “সংকোচন এবং বক্রতা একই জিনিস”। স্থানের সংকোচনের কারণে আপনার দৃষ্টিতে করিমের গজ-ফিতার দৈর্ঘ্য আপনার গজ-ফিতার দৈর্ঘ্যের চেয়ে ছোট হবে। তাই, তার মাপা পরিধি আপনার চেয়ে ছোট হবে। অন্যদিকে, রহিম যখন নাগরদোলার কেন্দ্র থেকে কিনারা বরাবর ব্যাসার্ধ মাপছিলো, খেয়াল করুন, সে কিন্তু নাগরদোলার ঘূর্ণনের সাথে লম্ব বা সমকোণে (Perpendicular) আগাচ্ছিলো। তাই নাগরদোলার ত্বরণ রহিমের ওপর প্রযোজ্য নয়। রহিমের এই কৌণিক অবস্হানের কারণে আপনার দৃষ্টিতে রহিমের স্থানকালের সংকোচন ঘটবে না, তাই আপনার দৃষ্টিতে আপনার গজ-ফিতার দৈর্ঘ্য রহিমের গজ-ফিতার দৈর্ঘ্যের সমান হবে।

তাহলে কী পেলাম আমরা? স্থির এবং ঘূর্ণন, দুইই অবস্থাতেই নাগরদোলার ব্যাসার্ধ সমান (R), কিন্তু পরিধি ভিন্ন! এখনকি আপনি ফুটবল আর টেনিস বলের ওপর বৃত্ত আঁকার ঘটনার সাথে মিল খুঁজে পাচ্ছেন?

মাধ্যাকর্ষণ কী ?

আইনস্টাইনের “সাধারণ আপেক্ষিক তত্ত্ব” মতে, ভর (Mass) স্থানকালে সংকোচন/বক্রতা তৈরী করে। ভর যত বেশী হয় বক্রতাও তত বেশী হয়. একটি গতিশীল বস্তু যখন এই বক্রতার মধ্যে চলে আসে তখন, স্থানকাল তাকে বক্রতার নিম্নাঞ্চলে ঠেলে দেয় (Space pushes the object)। এই “ঠেলে-দেয়া” শক্তি ঐ বস্তুকে ত্বরণ প্রদান করে (এই ত্বরণ নির্ভর করে তিনটি বিষয়ে ওপর – ১) স্থানকালে বক্রতা ২) বস্তুর প্রারম্ভিক গতিবেগ এবং ৩) প্রারম্ভিক গতির দিক)

আর এই ত্বরণ-ই মাধ্যাকর্ষণ ! দেখা যাচ্ছে মাধ্যাকর্ষণ আসলে আকর্ষণ করেনা, বরং এটি ত্বরণ জনিত গতি মাত্র।

দৃশ্য তিন:

আরেক ধরনের গণিত আছে, নাম “কোয়ান্টাম জ্যামিতি” এটি ব্যবহার হয় স্ট্রিং-তত্ত্ব-এ (এর আধুনিক নাম এম-তত্ত্ব)।  বৃত্ত নিয়ে এর এক মজার বৈশিষ্ট্য আছে,

“স্ট্রিং-তত্ত্ব”-এর “স্থানকালে” রয়েছে “৯টি স্থান ও ১টি কাল” আর “এম-তত্ত্ব”-এর “১০টি স্থান ও ১টি কাল”।  এদের মধ্যে তিনটি “স্থান” (দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও  ভেদ ) হচ্ছে প্রসারিত যেখানে আমরা সমস্ত জাগতিক বিষয়গুলো বিবেচনা করি। বাকী ৬টি স্থান (“এম-তত্ত্ব”-এর ক্ষেত্রে ৭টি) কুঁচকানো/কোঁকড়ানো অবস্থায় থাকে (বাঁধাকপির কথা চিন্তা করুন)। এই কোঁকড়ানো স্থানগুলোকে বলে ক্লাবিয়া-ওল স্থান (Calabi-Yau Space)। এই ক্লাবিয়া-ওল গুলো এতই ছোট যে, মৌলিক কণারা পর্যন্ত (যেমন, ইলেক্ট্রন, প্রোটন, ফোটন ইত্যাদি) এদের উপস্থিতি বুঝতে পারেনা। ক্লাবিয়া-ওলের সংখ্যা অগণিত, এরা প্রসারিত তিনটি স্থানে একে অপরের পাশাপাশি, ওপর, নীচ প্রায় স্পর্শরত অবস্থায় অবস্থান করে। ক্লাবিয়া-ওলেরা বিভিন্ন ভাবে কুঁচকানো থাকতে পারে। এই কুচকানো প্রকৃতি নির্ধারণ ও বোঝার জন্য এক ধরনের গণিত রয়েছে যার নাম “ক্লাবিয়া-ওল Manifold”.

যা হোক, ধরুন, আপনি (৩টি স্থান + ১টি কাল) এবং যেকোনো এক প্রকারের ক্লাবিয়া-ওল নিলেন। এরপর, কোয়ান্টাম জ্যামিতিতে একটা বৃত্ত আঁকলেন যার ব্যসার্ধ R. মজার বিষয়, আপনি আসলে দুটি বৃত্ত পাবেন একটির ব্যসার্ধ R অন্যটির ব্যসার্ধ ১/R এবং দুই বৃত্তই একই! লক্ষ্য করুন, আমি কিন্তু বলিনি এদের পরিধি সমান। দুই বৃত্তই সমান মানে, বৃত্ত দুটির সমীকরণ আপনাকে একই ফল দেবে। সুতরাং, যেই বৃত্ত আপনার সোজা লাগে সেটি নিয়ে কাজ করুন।

হয়তো ভাবছেন, এমন জ্যামিতি দিয়ে কি হবে? “রেইমানিয়ান জ্যামিতির” এক বড় সমস্যা আছে, বৃত্তের ব্যস যদি হয় প্ল্যাংক-দৈর্ঘ্যের ছোট তাহলে এই জ্যামিতি আর কাজ দেবে না। এই কারণে আইনস্টাইনের “সাধারণ আপেক্ষিক তত্ত্ব” কৃষ্ণগহবর (black hole) সহ “অতি ক্ষুদ্র কিন্তু অতি ভরযুক্ত” বস্তুর স্বরূপ ব্যাখ্যা দিতে পারে না।

অন্যদিকে কোয়ান্টাম জ্যামিতিতে দেখুন, আপনার এক বৃত্ত যদি ছোট হতে হতে (ব্যসার্ধ কমতে কমতে) প্ল্যাংক-দৈর্ঘ্যের নিচে চলে যায়, আপনার অন্য বৃত্ত কিন্তু ঠিকই বড় হতে থাকবে। সুতরাং, আপনি মনের আনন্দে অন্য বৃত্তটি সমাধান করতে পারবেন কোনো সমস্যা ছাড়াই।

*গতিবেগের (Speed) পরিবর্তনের হারকে বলে ত্বরণ। ত্বরণ বাস্তব উদাহরণ বিভিন্ন ধরনের হতে পারে, তার মধ্যে এখানে একটা ত্বরণের উদাহরণ দিচ্ছি যা প্রথম দৃষ্টিতে ত্বরণ বলে মনে হয় না, সেটা হচ্ছে,

“যদি কোন বস্তু বাঁকা পথে অপরিবর্তিত (Constant) গতিবেগে চলতে থাকে, তবে সেই বস্তুর গতি আসলে ত্বরণ”।

প্রথম দৃষ্টিতে একে ত্বরণ বলে মনে হয় না। নিউটন-এর গতির প্রথম সূত্র অনুসারে “কোন চলমান বস্তু সবসময়ে সোজা এবং অপরিবর্তনশীল গতিবেগে চলতে থাকে যদি না তার ওপরে কোন শক্তি প্রয়োগ করা হয়।” এখন বস্তুটি যদি বাঁকা পথে যেতে শুরু তবে সেটি কিছু শক্তি হারাবে দিক পরিবর্তনের জন্য, ফলে তার গতিবেগ কমতে থাকবে যেটা কিনা নেগেটিভ-ত্বরণ। এই হারানো গতিবেগ পোষানোর জন্য যদি সঠিক পরিমাণে শক্তি প্রয়োগ করা হয় তবে তা বস্তুতে পজিটিভ-ত্বরণ সৃষ্টি হবে। এই নেগেটিভ-ত্বরণ এবং পজিটিভ-ত্বরণ পরস্পরকে বাতিল করে এবং বস্তুর গতি অপরিবর্তিত থাকে।

তথ্যসূত্র:
“Elegant Universe” by Brian Greene অবলম্বনে

Comments