ধনাত্মক স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল অসীম পর্যন্ত -১/১২ !!!

1+2+3+4+5+………… ∞ = – 1/12 (এটা কিভাবে সম্ভব?)

আমাদের সাধারণ গণিতের জ্ঞান দিয়ে স্পষ্টই বলতে পারি 1+2+3+4+5+……………. = ∞। কিন্তু স্বাভাবিক সংখ্যার এই যোগফল -1/12 ও হতে পারে। পদার্থবিজ্ঞানের কোয়ান্টাম ফিল্ড থিওরি, স্ট্রিং থিওরিতে এই ফর্মুলার ব্যবহার করা হয়। এটার প্রমাণটাও মুখ হা করে দেয়ার মত যথেষ্ট। সাধারণ বীজগণিত দিয়েই এটা প্রমাণ করা যায়, এর জন্য আপনাকে বিজ্ঞানের বিশেষজ্ঞ হতে হবে না। ভারতীয় বিজ্ঞানী শ্রীনিবাস রামানুজন এটা প্রথমবারের মত দেখিয়েছিলেন।

আসুন, তাহলে এটার প্রমাণ দেখি:

আমরা একটা ধারা ধরি,
S1 = 1-1+1-1+1-1+1-…………………… (১)

এই ধারাটির যোগফল আপনাদের কত বলে মনে হয়? উপরের ধারাটিতে 1 অসীম সংখ্যকবার আছে। এখন ধারাটির যোগসংখ্যক পদে আমরা যদি থামি তাহলে যোগফল 0 আর যদি বিজোড় সংখ্যক পদে থামি তাহলে যোগফল 1। আমরা তো ঠিক জানিও না অসীম জোড় নাকি বিজোড়! তাই এভাবে এটাকে সমাধান করা যাচ্ছে না। আবার চেষ্টা করি –

S1 = 1-1+1-1+1-1+1-……………………

১ থেকে পুরো সিরিজ বিয়োগ করি,

1-S1 = 1- (1-1+1-1+1-1+…………..)

Or, 1-S1 = 1-1+1-1+1-1+1+………..

আমরা আমাদের সেই আগের সিরিজ S1পাচ্ছি। তাহলে,

1-S1=S1

or, S1= 1/2

আমরা আরেকটা সিরিজ ধরি, S2 =1-2+3-4+5-6+…………. (২)

এবার এই সিরিজটাকে এটার সাথেই যোগ করবো,

S2    = 1-2+3-4+5-6+………….

S2    =     1-2+3-4+5-…………. ( শুধু একধাপ পিছিয়ে লিখেছি)

(+) 2S2 = 1-1+1-1+1-1+………….. ( ঠিক শুরুতে যে সিরিজটা ধরেছিলাম অর্থাৎ ১ নম্বর সিরিজ বা S1 এর সাথে মিলে যায়)

Or, 2S2 = S1

Or, S2 = S1/2

আবার ওপরে দেখেছি যে, S1 এর মান 1/2.

তাহলে, S2 = 1/4

এবার আমরা প্রমাণ এর জন্য আমাদের সেই মূল সিরিজটা ধরবো।

S = 1+2+3+4+5+6+………………… (৩)

এবার

S    = 1+2+3+4+5+6+…………

S2   = 1-2+3-4+5-6+………….

(-)

S-S2=0+4+0+8+0+12+…………

Or, S- 1/4 = 4(1+2+3+……………….)

Or, S- 1/4 =  4S Or, 3S = – 1/4

So , s= – 1/12

অর্থাৎ, 1+2+3+4+5+………… ∞ = – 1/12

ব্যাপারটা নিয়ে অনেক দ্বিমত থাকতে পারে, কারণ খালি চোখে এটা কখনই সম্ভব না, অসীম পর্যন্ত স্বাভাবিক ধনাত্মক সংখ্যা যোগ করে তো আর ঋণাত্মক সংখ্যা পাওয়া যেতে পারে না, গণিতের সাধারণ জ্ঞান তো তাই বলে। তবুও এটা গাণিতিকভাবে(!) সম্ভব এবং পদার্থবিদ্যায় ব্যবহারও হচ্ছে। তাহলে শেষ পর্যন্ত আমরা কী বুঝলাম? এটা কি সম্ভব? নাকি সম্ভব না? উত্তরটা হচ্ছে, সম্ভব। কিন্তু শুধুমাত্র তখনই, যখন ‘=’ চিহ্নটা দিয়ে “সমান ও সমমান” এর চেয়ে ভিন্ন কিছু বোঝায়।

তথ্যসূত্র সমূহঃ
উইকিপিডিয়া লিংক, স্মিথসোনিয়ান ম্যাগাজিন লিংক, ফিজিক্স টুডে লিংক

Comments